数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3n - 1$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3n - 1$ で表されるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

が成り立つ。

$S_n = 2n^2 + 3n - 1$ より、

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 3(n-1) - 1 = 2(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3 - 1 = 2n^2 - 4n + 2 + 3n - 4 = 2n^2 - n - 2$

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n - 1) - (2n^2 - n - 2) = 2n^2 + 3n - 1 - 2n^2 + n + 2 = 4n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$

$a_n = 4n + 1$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 4(1) + 1 = 5$

$n=1$ のとき、$a_1$の値が一致しないので場合分けが必要。

したがって、

$a_1 = 4$

$n \geq 2$ のとき、$a_n = 4n + 1$

3. 最終的な答え

$a_1 = 4$

$a_n = 4n + 1$ ( $n \geq 2$ )