$\sin 15^{\circ}$ の値を求める問題です。答えの形式は $\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{(1) \pm (2)}{(3)}}$ となっています。

1. 問題の内容

$\sin 15^{\circ}$ の値を求める問題です。答えの形式は $\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{(1) \pm (2)}{(3)}}$ となっています。

2. 解き方の手順

$\sin 15^{\circ}$ は、加法定理または半角の公式を用いて計算できます。ここでは、加法定理を用いて計算します。$15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$ と考え、$\sin (45^{\circ} - 30^{\circ})$ を計算します。

加法定理より、

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

したがって、

$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

これを $\sqrt{\frac{(1) - (2)}{(3)}}$ の形に変形します。

$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1)}{4}$

$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 \cdot 2}}{4} = \frac{\sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) \cdot 2}}{4} = \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{4} = \frac{\sqrt{2(4 - 2\sqrt{3})}}{4}$

別の方法として、二重根号を外すことを考えます。

$4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$ であるので、

$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$

$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16}} = \sqrt{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{16}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

$2 - \sqrt{3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}$

半角の公式を利用すると、

$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$

$\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^{\circ}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{16}} = \sqrt{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{16}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

$2 - \sqrt{3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}$

$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

ここで、$\cos(2x) = 1-2\sin^2(x)$を変形すると$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$となる。$x=15^\circ$のとき、$2x=30^\circ$なので、$\sin^2(15^\circ)=\frac{1-\cos(30^\circ)}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$。したがって、$\sin(15^\circ)=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$.

$2 - \sqrt{3}$をルートの中に無理やり入れることを考えると、

$2 - \sqrt{3} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$

$\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$より、(1) = 2, (a) = -, (2) = 3, (3) = 4

3. 最終的な答え

$\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{2 - 3}{4}}$

答え: (1) = 2, (a) = -, (2) = 3, (3) = 4

$\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$

(1) = 2, (a) = -, (2) = $\sqrt{3}$, (3) = 4

最終的な答え:

$\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

(1)=2, (2)=$\sqrt{3}$, (3)=4

答え: $\sin 15^{\circ} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$

(1) = 2

(a) = -

(2) = $\sqrt{3}$

(3) = 4

答え:

(1)=2

(a)=-

(2)=3の平方根

(3)=4

$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

$\sqrt{3}$