多項式 $x^{14} - 2x^{13}$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りが $ax+b$ と表されるのはなぜか、という質問です。

1. 問題の内容

多項式 $x^{14} - 2x^{13}$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りが $ax+b$ と表されるのはなぜか、という質問です。

2. 解き方の手順

多項式の割り算における余りの次数について考えます。一般に、多項式 $P(x)$ を多項式 $D(x)$ で割ったとき、商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$

と表されます。

このとき、余り $R(x)$ の次数は、割る多項式 $D(x)$ の次数よりも必ず小さくなります。

今回の問題では、$P(x) = x^{14} - 2x^{13}$ であり、$D(x) = x^2 + x + 1$ です。$D(x)$ の次数は 2 なので、余り $R(x)$ の次数は 2 より小さくなければなりません。

次数が 2 より小さい多項式は、定数（次数0）または1次式です。一般に1次式は $ax + b$（$a, b$ は定数）と表されます。定数も $a=0$ の場合を考えれば $ax+b$ で表せます。

したがって、$x^{14} - 2x^{13}$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りは $ax + b$ の形で表されることになります。

3. 最終的な答え

多項式を2次式で割ったときの余りの次数は1次以下になるため、余りは$ax+b$の形で表されます。