2次方程式 $x^2 + 7ax - 3a^2 + 5 = 0$ が $x = -1$ を解に持つとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 7ax - 3a^2 + 5 = 0$ が $x = -1$ を解に持つとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = -1$ を与えられた2次方程式に代入します。

$(-1)^2 + 7a(-1) - 3a^2 + 5 = 0$

$1 - 7a - 3a^2 + 5 = 0$

$-3a^2 - 7a + 6 = 0$

$3a^2 + 7a - 6 = 0$

この $a$ についての2次方程式を解きます。因数分解を利用すると、

$(3a - 2)(a + 3) = 0$

したがって、$a = \frac{2}{3}$ または $a = -3$

次に、$a = \frac{2}{3}$ の場合と $a = -3$ の場合のそれぞれについて、与えられた2次方程式のもう一つの解を求めます。

(i) $a = \frac{2}{3}$ の場合：

$x^2 + 7(\frac{2}{3})x - 3(\frac{2}{3})^2 + 5 = 0$

$x^2 + \frac{14}{3}x - 3(\frac{4}{9}) + 5 = 0$

$x^2 + \frac{14}{3}x - \frac{4}{3} + 5 = 0$

$x^2 + \frac{14}{3}x + \frac{11}{3} = 0$

$3x^2 + 14x + 11 = 0$

$(3x + 11)(x + 1) = 0$

したがって、$x = -1$ または $x = -\frac{11}{3}$

$a = \frac{2}{3}$ のとき、もう一つの解は $x = -\frac{11}{3}$

(ii) $a = -3$ の場合：

$x^2 + 7(-3)x - 3(-3)^2 + 5 = 0$

$x^2 - 21x - 3(9) + 5 = 0$

$x^2 - 21x - 27 + 5 = 0$

$x^2 - 21x - 22 = 0$

$(x - 22)(x + 1) = 0$

したがって、$x = -1$ または $x = 22$

$a = -3$ のとき、もう一つの解は $x = 22$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$ のとき、他の解は $x = -\frac{11}{3}$

$a = -3$ のとき、他の解は $x = 22$