与えられた3次式 $x^3 + 4x^2 - 5$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + 4x^2 - 5$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まずは、この式に代入して0になるような $x$ の値をいくつか探します。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$

となるので、$x-1$ は因数であることがわかります。

次に、$x^3 + 4x^2 - 5$ を $x-1$ で割ります。

$x^3 + 4x^2 - 5 = (x - 1)(x^2 + 5x + 5)$

$x^2 + 5x + 5$ の部分を因数分解できるか確認します。

判別式 $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(5) = 25 - 20 = 5 > 0$ なので、実数解を持ちますが、有理数の範囲では因数分解できません。

解の公式を用いて、$x^2 + 5x + 5 = 0$ の解を求めると、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x^2 + 5x + 5 = (x - \frac{-5 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{-5 - \sqrt{5}}{2})$ と因数分解できますが、通常はここまで求めません。

3. 最終的な答え

$x^3 + 4x^2 - 5 = (x-1)(x^2 + 5x + 5)$