与えられた5つの数学の問題を解きます。問題は、長方形の縦の長さ、自然数、円柱の半径の変化、利益と損失に関するものです。

1. 問題の内容

与えられた5つの数学の問題を解きます。問題は、長方形の縦の長さ、自然数、円柱の半径の変化、利益と損失に関するものです。

2. 解き方の手順

**問1.**

長方形の横の長さを $y$ cmとすると、縦の長さは $y+7$ cmです。面積は $60 cm^2$ なので、以下の式が成り立ちます。

$$y(y+7) = 60$$

$$y^2 + 7y - 60 = 0$$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$$(y+12)(y-5) = 0$$

$y$ は正の数なので、$y=5$となります。よって、縦の長さは $5+7=12$ cmです。

**問2.**

2つの自然数を $a$ と $b$ とします($a > b$)。積が45、差が4なので、

$$ab = 45$$

$$a - b = 4$$

$a = b+4$ を最初の式に代入すると、

$$(b+4)b = 45$$

$$b^2 + 4b - 45 = 0$$

因数分解すると、

$$(b+9)(b-5) = 0$$

$b$ は正の数なので、$b=5$となります。よって、$a = 5+4 = 9$です。大きい方の自然数は9です。

**問3.**

連続する2つの自然数を $n$ と $n+1$ とします。積が240なので、

$$n(n+1) = 240$$

$$n^2 + n - 240 = 0$$

因数分解すると、

$$(n+16)(n-15) = 0$$

$n$ は正の数なので、$n=15$となります。よって、大きい方の自然数は $15+1=16$です。

**問4.**

円柱の体積は $V = \pi r^2 h$ で与えられます。

ここで、$r=10$ cm、$h=k$ cmです。

半径が $x$ cm増えた後の体積は $V' = \pi (10+x)^2 k$ です。

体積が44%増加したので、$V' = 1.44V$ です。

したがって、

$$\pi (10+x)^2 k = 1.44 \pi (10)^2 k$$

$$(10+x)^2 = 1.44 (10)^2$$

$$(10+x)^2 = 144$$

$$10+x = \pm 12$$

$x$ は正の数なので、$10+x=12$ より $x=2$となります。

**問5.**

仕入れ値は20,000円です。$x$%の利益をつけた出品価格は $20000(1 + \frac{x}{100})$ 円です。

出品価格の $x$%引きの価格で売れたので、売れた価格は

$20000(1 + \frac{x}{100})(1 - \frac{x}{100})$ 円です。

200円の赤字になったので、

$$20000(1 + \frac{x}{100})(1 - \frac{x}{100}) = 20000 - 200$$

$$20000(1 - \frac{x^2}{10000}) = 19800$$

$$1 - \frac{x^2}{10000} = \frac{19800}{20000} = \frac{99}{100}$$

$$\frac{x^2}{10000} = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$$

$$x^2 = \frac{10000}{100} = 100$$

$x > 0$なので、$x=10$です。

3. 最終的な答え

問1: 12 cm

問2: 9

問3: 16

問4: 2

問5: 10