$x$と$y$を自然数とするとき、「$xy$が3の倍数ならば、$x$または$y$は3の倍数である」という命題が真であることを示す問題。

1. 問題の内容

$x$と$y$を自然数とするとき、「$xy$が3の倍数ならば、$x$または$y$は3の倍数である」という命題が真であることを示す問題。

2. 解き方の手順

この命題は直接証明することも可能ですが、ここでは対偶を利用して証明します。

元の命題の対偶は、「$x$も$y$も3の倍数でないならば、$xy$は3の倍数でない」となります。この対偶が真であることを示します。

$x$と$y$が3の倍数でないとき、$x$と$y$はそれぞれ次のように表せます。

$x = 3m + 1$ または $x = 3m + 2$ (mは整数)

$y = 3n + 1$ または $y = 3n + 2$ (nは整数)

ここで、$x$と$y$の組み合わせをすべて考え、$xy$が3の倍数でないことを示します。

(1) $x = 3m + 1$ かつ $y = 3n + 1$ のとき

$xy = (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3(3mn + m + n) + 1$

これは3の倍数ではありません。

(2) $x = 3m + 1$ かつ $y = 3n + 2$ のとき

$xy = (3m + 1)(3n + 2) = 9mn + 6m + 3n + 2 = 3(3mn + 2m + n) + 2$

これは3の倍数ではありません。

(3) $x = 3m + 2$ かつ $y = 3n + 1$ のとき

$xy = (3m + 2)(3n + 1) = 9mn + 3m + 6n + 2 = 3(3mn + m + 2n) + 2$

これは3の倍数ではありません。

(4) $x = 3m + 2$ かつ $y = 3n + 2$ のとき

$xy = (3m + 2)(3n + 2) = 9mn + 6m + 6n + 4 = 9mn + 6m + 6n + 3 + 1 = 3(3mn + 2m + 2n + 1) + 1$

これは3の倍数ではありません。

したがって、$x$も$y$も3の倍数でないとき、$xy$は3の倍数ではありません。これは対偶が真であることを示しています。対偶が真であるとき、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

$x$、$y$ を自然数とするとき、$xy$が3の倍数ならば、$x$または$y$は3の倍数である。 （真）