(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを示す。 (2) $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを示す。

(2) $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $a+b+c=0$ のとき、$c = -a-b$ であるから、

$a^3+b^3+c^3 = a^3+b^3+(-a-b)^3$

$= a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$

$= -3a^2b-3ab^2 = -3ab(a+b)$.

ここで、$a+b = -c$ より、

$a^3+b^3+c^3 = -3ab(-c) = 3abc$.

よって、$a^3+b^3+c^3 = 3abc$ が成り立つ。

(2) $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=k$ とおくと、$x=ak, y=bk$ となる。

左辺: $(ax+by)^2 = (a(ak)+b(bk))^2 = (a^2k+b^2k)^2 = k^2(a^2+b^2)^2$.

右辺: $(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (a^2+b^2)((ak)^2+(bk)^2) = (a^2+b^2)(a^2k^2+b^2k^2) = k^2(a^2+b^2)(a^2+b^2) = k^2(a^2+b^2)^2$.

よって、左辺と右辺は等しくなり、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つ。

(2) $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$ のとき、$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ が成り立つ。