与えられた2次式 $x^2 - 3x - 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 - 3x - 2$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $x^2 - 3x - 2 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -3$, $c = -2$ であるから、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

したがって、2つの解は $x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ と $x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ である。

これらの解を用いて、2次式を因数分解すると、

$x^2 - 3x - 2 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

3. 最終的な答え

$(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$