与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、適切な項を組み合わせて展開し、共通の項を作ることを目指します。

$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ を組み合わせると、どちらも $x^2 - 8x$ の項が現れるので、この組み合わせで計算します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置換すると、式は以下のようになります。

$(A + 7)(A + 15) + 15 = A^2 + 15A + 7A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

次に、この式を因数分解します。120を掛けて22になる2つの数を見つける必要があります。

$120 = 12 \times 10$, $12 + 10 = 22$ なので、

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

ここで、$A = x^2 - 8x$ を元に戻します。

$(A + 10)(A + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$(x^2 - 8x + 12)$ を因数分解できるか確認します。12を掛けて-8になる2つの数を見つける必要があります。

$12 = (-2) \times (-6)$, $(-2) + (-6) = -8$ なので、

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

したがって、最終的な因数分解の結果は

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$