(1) 自然数 $n$ に対して、以下の和をそれぞれ求めよ。 (ア) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 4k^2 - 8k)$ (イ) $\sum_{k=1}^{n} 4^k$ (ウ) $\sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k$ (エ) $\sum_{k=1}^{n} k^2$ (オ) $1^2 \cdot n + 2^2 \cdot (n-1) + 3^2 \cdot (n-2) + \dots + (n-1)^2 \cdot 2 + n^2 \cdot 1$ (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が次の式で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (ア) $S_n = n^2 - 3n$ (イ) $S_n = n^3 + 2$ (3) 次の数列の一般項を求めよ。また、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, ...

1. 問題の内容

(1) 自然数 $n$ に対して、以下の和をそれぞれ求めよ。

(ア) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 4k^2 - 8k)$

(イ) $\sum_{k=1}^{n} 4^k$

(ウ) $\sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k$

(エ) $\sum_{k=1}^{n} k^2$

(オ) $1^2 \cdot n + 2^2 \cdot (n-1) + 3^2 \cdot (n-2) + \dots + (n-1)^2 \cdot 2 + n^2 \cdot 1$

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が次の式で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(ア) $S_n = n^2 - 3n$

(イ) $S_n = n^3 + 2$

(3) 次の数列の一般項を求めよ。また、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, ...

2. 解き方の手順

(1)

(ア) 公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ を利用する。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 4k^2 - 8k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 8 \sum_{k=1}^{n} k$

$= (\frac{n(n+1)}{2})^2 - 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 4n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) - 8(2n+1) - 48] = \frac{n(n+1)}{12} (3n^2+3n - 16n - 8 - 48)$

$= \frac{n(n+1)}{12} (3n^2 - 13n - 56) = \frac{n(n+1)(3n+8)(n-7)}{12}$

(イ) 等比数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a \frac{1-r^n}{1-r}$ より、

$\sum_{k=1}^{n} 4^k = \sum_{k=1}^{n} 4 \cdot 4^{k-1} = 4 \frac{1-4^n}{1-4} = 4 \frac{1-4^n}{-3} = \frac{4}{3} (4^n - 1)$

(ウ) $S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k = 1\cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + ... + n \cdot 4^n$

$4S = 1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^3 + ... + (n-1) 4^n + n \cdot 4^{n+1}$

$S - 4S = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^n - n \cdot 4^{n+1}$

$-3S = \sum_{k=1}^{n} 4^k - n \cdot 4^{n+1} = \frac{4}{3}(4^n-1) - n \cdot 4^{n+1}$

$S = -\frac{1}{3}(\frac{4}{3}(4^n-1) - n \cdot 4^{n+1}) = \frac{1}{9} (-4(4^n-1) + 3n \cdot 4^{n+1})$

$S = \frac{1}{9} ((-4+12n)4^n + 4) = \frac{4}{9} ((3n-1)4^n + 1)$

(エ) $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

(オ) $\sum_{k=1}^{n} k^2 (n - (k-1)) = \sum_{k=1}^{n} k^2(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} (n+1)k^2 - k^3 = (n+1)\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3$

$= (n+1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n(n+1)}{6}[(n+1)(2n+1) - \frac{3}{2}n(n+1)]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [2n^2+3n+1 - \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n] = \frac{n(n+1)}{12}[4n^2+6n+2-3n^2-3n] = \frac{n(n+1)}{12}(n^2+3n+2) = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

(2)

(ア) $a_1 = S_1 = 1^2 - 3(1) = -2$

$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - 3n - [(n-1)^2 - 3(n-1)] = n^2 - 3n - (n^2 - 2n + 1 - 3n + 3) = n^2 - 3n - n^2 + 5n - 4 = 2n - 4$

$a_1 = 2(1) - 4 = -2$. よって、$a_n = 2n - 4$

(イ) $a_1 = S_1 = 1^3 + 2 = 3$

$a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + 2 - [(n-1)^3 + 2] = n^3 + 2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2) = n^3 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 = 3n^2 - 3n + 1$

$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 1 \neq 3$ よって、

$a_1 = 3, a_n = 3n^2 - 3n + 1 (n \ge 2)$.

(3)

階差数列を考えると、18, 36, 60, 90, 126, 168, ...

さらに階差数列を考えると、18, 24, 30, 36, 42, ...

さらに階差数列を考えると、6, 6, 6, 6, ...

よって、$a_n$ は3次式となる。

$a_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$ とおく。

$a_1 = A + B + C + D = 6$

$a_2 = 8A + 4B + 2C + D = 24$

$a_3 = 27A + 9B + 3C + D = 60$

$a_4 = 64A + 16B + 4C + D = 120$

上記を解くと、$A=1, B=0, C=5, D=0$ となる。

よって、$a_n = n^3 + 5n$.

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 5k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 5 \sum_{k=1}^{n} k = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{10n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)(n(n+1) + 10)}{4} = \frac{n(n+1)(n^2+n+10)}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\frac{n(n+1)(3n+8)(n-7)}{12}$

(イ) $\frac{4}{3}(4^n-1)$

(ウ) $\frac{4}{9}((3n-1)4^n + 1)$

(エ) $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

(オ) $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

(2)

(ア) $a_n = 2n - 4$

(イ) $a_1 = 3, a_n = 3n^2 - 3n + 1 (n \ge 2)$

(3)

$a_n = n^3 + 5n$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n(n+1)(n^2+n+10)}{4}$