(1) 初項 $a$、公比 $r$ の等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_{10} = -31S_5$ を満たす公比 $r$ を求めよ。ただし、$a \neq 0$、$r \neq 1$ とする。 (2) 初項が3、末項が768、和が513である等比数列の公比を求めよ。

はい、承知いたしました。等比数列の問題ですね。以下の通り回答します。

1. 問題の内容

(1) 初項 $a$、公比 $r$ の等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_{10} = -31S_5$ を満たす公比 $r$ を求めよ。ただし、$a \neq 0$、$r \neq 1$ とする。

(2) 初項が3、末項が768、和が513である等比数列の公比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式より、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

与えられた条件 $S_{10} = -31S_5$ を代入すると、

$\frac{a(1-r^{10})}{1-r} = -31 \frac{a(1-r^5)}{1-r}$

$a \neq 0$、$r \neq 1$ であるから、$a$と$(1-r)$で両辺を割ることができる。

$1-r^{10} = -31(1-r^5)$

$r^{10} - 31r^5 - 32 = 0$

ここで、$x = r^5$ とおくと、

$x^2 - 31x - 32 = 0$

$(x-32)(x+1) = 0$

$x = 32, -1$

$r^5 = 32 = 2^5$, $r^5 = -1 = (-1)^5$

したがって、$r = 2, -1$

(2) 初項を $a = 3$、末項を $l = 768$、公比を $r$、項数を $n$、和を $S_n = 513$ とする。

末項は $l = ar^{n-1}$ であるから、

$768 = 3r^{n-1}$

$r^{n-1} = 256$

等比数列の和の公式より、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a-ar^n}{1-r} = \frac{a-r(ar^{n-1})}{1-r} = \frac{a-rl}{1-r}$

$513 = \frac{3-768r}{1-r}$

$513(1-r) = 3 - 768r$

$513 - 513r = 3 - 768r$

$255r = -510$

$r = -2$

3. 最終的な答え

(1) $r = 2, -1$

(2) $r = -2$