ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんの料金プラン、通話時間、利用料金が与えられ、以下の3つの問いに答えます。 (1) 花子さんの利用料金が7000円になるような通話時間$x$を求めます。 (2) 花子さんと太郎さんの利用料金の差が1200円になるような通話時間$x$を求めます。 (3) 花子さんがプランを変更した場合の、条件を満たす通話時間$x$の範囲を求めます。

1. 問題の内容

ある通信会社の携帯電話の料金プランに関する問題です。花子さんと太郎さんの料金プラン、通話時間、利用料金が与えられ、以下の3つの問いに答えます。

(1) 花子さんの利用料金が7000円になるような通話時間$x$を求めます。

(2) 花子さんと太郎さんの利用料金の差が1200円になるような通話時間$x$を求めます。

(3) 花子さんがプランを変更した場合の、条件を満たす通話時間$x$の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 花子さんはプランAを利用しています。

$x$が240分以下の時、利用料金は6000円となり、7000円にならないので、$x > 240$です。

240分を超えた分の通話料金は、1分あたり10円なので、

$6000 + 10(x - 240) = 7000$

$10(x - 240) = 1000$

$x - 240 = 100$

$x = 340$

(2) 花子さんはプランA、太郎さんはプランBを利用しています。

花子さんの利用料金$P$は、

$x \le 240$のとき、$P = 6000$

$x > 240$のとき、$P = 6000 + 10(x - 240)$

太郎さんの利用料金$Q$は、$Q = 500 + 20x$

$|P - Q| = 1200$なので、$P - Q = 1200$または$P - Q = -1200$です。

(i) $x \le 240$のとき

$6000 - (500 + 20x) = 1200$

$5500 - 20x = 1200$

$20x = 4300$

$x = 215$

これは、$x \le 240$を満たします。

$6000 - (500 + 20x) = -1200$

$5500 - 20x = -1200$

$20x = 6700$

$x = 335$

これは、$x \le 240$を満たしません。

(ii) $x > 240$のとき

$6000 + 10(x - 240) - (500 + 20x) = 1200$

$6000 + 10x - 2400 - 500 - 20x = 1200$

$3100 - 10x = 1200$

$10x = 1900$

$x = 190$

これは、$x > 240$を満たしません。

$6000 + 10(x - 240) - (500 + 20x) = -1200$

$6000 + 10x - 2400 - 500 - 20x = -1200$

$3100 - 10x = -1200$

$10x = 4300$

$x = 430$

これは、$x > 240$を満たします。

(3) 花子さんはプランC、太郎さんはプランBを利用しています。

花子さんの利用料金$P$は、

$100 < x \le 300$のとき、$P = 5000 + 5(x - 100)$

$x > 300$のとき、$P = 5000 + 5(300 - 100) + 15(x - 300) = 5000 + 1000 + 15(x - 300) = 6000 + 15(x - 300)$

太郎さんの利用料金$Q$は、$Q = 500 + 20x$

条件1：$|P - Q| \le 1200$

条件2：花子さんの利用料金は、プランAを利用していたときの利用料金以下

条件1について、場合分けをします。

(i) $100 < x \le 300$のとき

$|5000 + 5(x - 100) - (500 + 20x)| \le 1200$

$|5000 + 5x - 500 - 500 - 20x| \le 1200$

$|4000 - 15x| \le 1200$

$-1200 \le 4000 - 15x \le 1200$

$-5200 \le -15x \le -2800$

$2800 \le 15x \le 5200$

$186.67 \le x \le 346.67$

$187 \le x \le 300$

(ii) $x > 300$のとき

$|6000 + 15(x - 300) - (500 + 20x)| \le 1200$

$|6000 + 15x - 4500 - 500 - 20x| \le 1200$

$|1000 - 5x| \le 1200$

$-1200 \le 1000 - 5x \le 1200$

$-2200 \le -5x \le 200$

$-200 \le 5x \le 2200$

$-40 \le x \le 440$

$300 < x \le 440$

条件1を満たすxの範囲は、$187 \le x \le 440$

条件2について

(i) $100 < x \le 240$

$5000 + 5(x-100) \le 6000$

$5000 + 5x - 500 \le 6000$

$4500 + 5x \le 6000$

$5x \le 1500$

$x \le 300$

よって、$100 < x \le 240$

(ii) $x > 240$

$5000 + 5(300 - 100) + 15(x - 300) \le 6000 + 10(x - 240)$

$6000 + 15x - 4500 \le 6000 + 10x - 2400$

$1500 + 15x \le 3600 + 10x$

$5x \le 2100$

$x \le 420$

条件2を満たすxの範囲は、$101 \le x \le 420$

条件1と条件2をともに満たすxの範囲は、$187 \le x \le 420$

3. 最終的な答え

(1) $x = 340$

(2) $x = 215, 430$

(3) 条件1を満たすxの範囲：$187 \le x \le 440$

条件1, 2をともに満たすxの範囲：$187 \le x \le 420$