2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ について、以下の問いに答える。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求める。 (3) $0 \le x \le 2$ における関数 $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ について、以下の問いに答える。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求める。

(3) $0 \le x \le 2$ における関数 $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成を行う。

$f(x) = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(a, -a^2 + 1)$

(2) 平行移動後の関数を $g(x)$ とすると、

$g(x) = f(x + 2) + 3 = (x+2)^2 - 2a(x+2) + 1 + 3 = x^2 + 4x + 4 - 2ax - 4a + 4 = x^2 + (4 - 2a)x + 8 - 4a$

このグラフが原点を通るので、$g(0) = 0$。

$8 - 4a = 0$ より、$a = 2$

(3) $f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 1$ である。

$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とする。

軸 $x = a$ の位置で場合分けを行う。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $[0, 2]$ で $f(x)$ は単調減少なので、$x = 0$ で最小値をとる。

$m(a) = f(0) = 1$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、$x = a$ で最小値をとる。

$m(a) = f(a) = -a^2 + 1$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $[0, 2]$ で $f(x)$ は単調増加なので、$x = 2$ で最小値をとる。

$m(a) = f(2) = 2^2 - 2a \cdot 2 + 1 = 5 - 4a$

以上より、

$m(a) = \begin{cases} 1 & (a < 0) \\ -a^2 + 1 & (0 \le a \le 2) \\ 5 - 4a & (a > 2) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(a, -a^2 + 1)$

(2) $a = 2$

(3) $m(a) = \begin{cases} 1 & (a < 0) \\ -a^2 + 1 & (0 \le a \le 2) \\ 5 - 4a & (a > 2) \end{cases}$