$k$が定数のとき、放物線 $y = x^2 - kx - k^2 + k - 3$ の頂点が、$k$ が様々な値をとるとき、どのような曲線上を動いていくかを求める問題です。

1. 問題の内容

$k$が定数のとき、放物線 $y = x^2 - kx - k^2 + k - 3$ の頂点が、$k$ が様々な値をとるとき、どのような曲線上を動いていくかを求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 放物線の式を平方完成します。

$y = x^2 - kx - k^2 + k - 3$

$y = (x - \frac{k}{2})^2 - (\frac{k}{2})^2 - k^2 + k - 3$

$y = (x - \frac{k}{2})^2 - \frac{k^2}{4} - k^2 + k - 3$

$y = (x - \frac{k}{2})^2 - \frac{5k^2}{4} + k - 3$

2. 頂点の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = \frac{k}{2}$

$Y = -\frac{5k^2}{4} + k - 3$

3. $k$ を $X$ で表し、$Y$ に代入します。

$k = 2X$

$Y = -\frac{5(2X)^2}{4} + 2X - 3$

$Y = -\frac{5(4X^2)}{4} + 2X - 3$

$Y = -5X^2 + 2X - 3$

4. 頂点が動く軌跡の方程式を求めます。

$X$ を $x$ に、$Y$ を $y$ に置き換えます。

$y = -5x^2 + 2x - 3$

3. 最終的な答え

$y = -5x^2 + 2x - 3$