(1) 2次関数 $y = x^2 - 2mx + 3m - 2$ の値が常に正であるような、$m$ の値の範囲を求める。 (2) 2次関数 $y = mx^2 + 4x + m - 3$ の値が常に負であるような、$m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2mx + 3m - 2$ の値が常に正であるような、$m$ の値の範囲を求める。

(2) 2次関数 $y = mx^2 + 4x + m - 3$ の値が常に負であるような、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 2mx + 3m - 2$ の値が常に正である条件は、放物線が $x$ 軸と交わらないこと、つまり判別式 $D$ が負であることである。

判別式 $D$ は

$D = (-2m)^2 - 4(1)(3m - 2) = 4m^2 - 12m + 8 = 4(m^2 - 3m + 2)$

$D < 0$ より

$4(m^2 - 3m + 2) < 0$

$m^2 - 3m + 2 < 0$

$(m - 1)(m - 2) < 0$

よって、$1 < m < 2$

(2) 2次関数 $y = mx^2 + 4x + m - 3$ の値が常に負である条件は、

(i) $m < 0$ (上に凸の放物線)

(ii) 判別式 $D < 0$ (放物線が $x$ 軸と交わらない)

である。

判別式 $D$ は

$D = 4^2 - 4(m)(m-3) = 16 - 4m(m-3) = 16 - 4m^2 + 12m = -4m^2 + 12m + 16$

$D < 0$ より

$-4m^2 + 12m + 16 < 0$

$4m^2 - 12m - 16 > 0$

$m^2 - 3m - 4 > 0$

$(m - 4)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 4$

(i) かつ (ii) を満たす $m$ の範囲は $m < -1$

3. 最終的な答え

(1) $1 < m < 2$

(2) $m < -1$