$t$ を 0 でない実数の定数とするとき、2つの2次方程式 $x^2 - 3tx - 6t = 0$ と $tx^2 - x + 2t = 0$ が共通の実数解を持つ。このとき、共通の実数解 $x$ と $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

$t$ を 0 でない実数の定数とするとき、2つの2次方程式 $x^2 - 3tx - 6t = 0$ と $tx^2 - x + 2t = 0$ が共通の実数解を持つ。このとき、共通の実数解 $x$ と $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$$\alpha^2 - 3t\alpha - 6t = 0 \qquad (1)$$

$$t\alpha^2 - \alpha + 2t = 0 \qquad (2)$$

(1)式から $t$ について解く。

$$t(3\alpha + 6) = \alpha^2$$

$$t = \frac{\alpha^2}{3\alpha + 6} \qquad (3)$$

(2)式から $t$ について解く。

$$t(\alpha^2 + 2) = \alpha$$

$$t = \frac{\alpha}{\alpha^2 + 2} \qquad (4)$$

(3)と(4)は等しいので、

$$\frac{\alpha^2}{3\alpha + 6} = \frac{\alpha}{\alpha^2 + 2}$$

$\alpha \neq 0$ のとき、両辺を $\alpha$ で割って

$$\frac{\alpha}{3\alpha + 6} = \frac{1}{\alpha^2 + 2}$$

$$\alpha(\alpha^2 + 2) = 3\alpha + 6$$

$$\alpha^3 + 2\alpha = 3\alpha + 6$$

$$\alpha^3 - \alpha - 6 = 0$$

$(\alpha - 2)(\alpha^2 + 2\alpha + 3) = 0$

$\alpha^2 + 2\alpha + 3 = (\alpha + 1)^2 + 2 > 0$ なので、$\alpha = 2$

これを(4)に代入して、

$$t = \frac{2}{2^2 + 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$\alpha = 0$ の場合、(1)より $6t = 0$ となり $t = 0$ となるが、$t$ は0でないので不適。

よって、$\alpha = 2$, $t = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

共通の実数解は $x = 2$ であり、$t = \frac{1}{3}$ である。