13本の同じ鉛筆を3人で分けるとき、どの人も必ず1本はもらえるとする。このとき、何通りの分け方があるか。

1. 問題の内容

13本の同じ鉛筆を3人で分けるとき、どの人も必ず1本はもらえるとする。このとき、何通りの分け方があるか。

2. 解き方の手順

まず、3人それぞれに1本ずつ鉛筆を配ります。すると、残りの鉛筆は $13 - 3 = 10$ 本となります。

この残りの10本の鉛筆を3人で自由に分ける場合の数を考えます。

これは、10個の同じもの（鉛筆）を3つのグループに分ける問題と同じです。

区切りを2つ入れることでグループを分けます。

例えば、鉛筆を○で表し、区切りを|で表すと、

○○|○○○○|○○○○

は、1人目が2本、2人目が4本、3人目が4本の鉛筆をもらうことを意味します。

したがって、10個の○と2個の|の並べ方を考えればよいことになります。

これは、合計 $10 + 2 = 12$ 個の場所から、|を入れる2つの場所を選ぶ組み合わせの数と同じです。

つまり、${}_{12}C_2$ を計算します。

${}_{12}C_2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

3. 最終的な答え

66通り