5個の数字 $0, 1, 3, 5, 7$ から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。 (1) 整数は全部で何個できるか。 (2) 3の倍数は全部で何個できるか。 (3) 6の倍数は全部で何個できるか。 (4) 15の倍数は全部で何個できるか。

1. 問題の内容

5個の数字 $0, 1, 3, 5, 7$ から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。

(1) 整数は全部で何個できるか。

(2) 3の倍数は全部で何個できるか。

(3) 6の倍数は全部で何個できるか。

(4) 15の倍数は全部で何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る。百の位は0以外の4つの数字から選ぶことができる。十の位は残りの4つの数字から選び、一の位は残りの3つの数字から選ぶ。したがって、作れる整数の個数は $4 \times 4 \times 3 = 48$ 個。

(2) 3の倍数を作る。3の倍数になるためには、各桁の数字の和が3の倍数になる必要がある。

数字の組み合わせは以下の通り。

\begin{itemize}

\item 0, 1, 5: $4$個

\item 0, 3, 3 (重複するのでだめ)

\item 1, 3, 5: $3! = 6$個

\item 1, 5, 6 (6がないのでだめ)

\item 1, 3, 8 (8がないのでだめ)

\item 3, 5, 7: $3! = 6$個

\item 0, 3, 6 (6がないのでだめ)

\item 0, 3, 9 (9がないのでだめ)

\item 0, 1, 2 (2がないのでだめ)

\item 0, 5, 7 存在しない

\item 0, 3, 0 存在しない

\end{itemize}

各桁の数字の和が3の倍数となる組み合わせは、$\{0,1,5\}, \{1,3,5\}, \{3,5,7\}$ である。

$\{0,1,5\}$ から作れる3桁の整数は、百の位が0でないので、$2 \times 2 \times 1 = 4$ 個。

$\{1,3,5\}$ から作れる3桁の整数は、$3! = 6$ 個。

$\{3,5,7\}$ から作れる3桁の整数は、$3! = 6$ 個。

したがって、3の倍数は $4 + 6 + 6 = 16$ 個。

(3) 6の倍数を作る。6の倍数になるためには、2の倍数でありかつ3の倍数である必要がある。つまり、一の位が偶数（0）であり、各桁の数字の和が3の倍数である必要がある。

数字の組み合わせは、

\begin{itemize}

\item 0, 1, 5: 150, 510, 105, 501 の4個

\end{itemize}

$\{0, 1, 5\}$ の組み合わせの場合、$1+5+0 = 6$ なので3の倍数であり、0が含まれているので2の倍数になる可能性がある。一の位が0の場合のみ2の倍数になるので、$\{1,5,0\}$ の組み合わせで作れる6の倍数は、$150, 510$ の2個。

したがって、6の倍数は2個。

(4) 15の倍数を作る。15の倍数になるためには、3の倍数でありかつ5の倍数である必要がある。つまり、一の位が0か5であり、各桁の数字の和が3の倍数である必要がある。

\begin{itemize}

\item 組み合わせ$\{0, 1, 5\}$の場合、一の位が0か5なので、3の倍数である。一の位が0であるとき、作れる数字は$150, 510$。一の位が5であるとき、作れる数字は$105$。

\item 組み合わせ$\{1, 3, 5\}$の場合、一の位が5なので$135, 315$。

\item 組み合わせ$\{3, 5, 7\}$の場合、5は一の位になりえる。$357, 753$はだめ。

\end{itemize}

$\{0, 1, 5\}$ の組み合わせで、一の位が0のときは6の倍数。一の位が5のときは3の倍数であり、5の倍数である必要がある。よって $105$。

$\{1, 3, 5\}$ の組み合わせで、一の位が5のときは3の倍数であり、5の倍数である必要がある。$135, 315$。

$\{3, 5, 7\}$ の組み合わせでは、5が一の位の時、357, 753。この場合、3+5+7=15なので3の倍数。5の倍数にするために、一の位を5にすると、357, 753。

一の位が0のとき、$150, 510$。

一の位が5のとき、$135, 315$。

$105, 135, 150, 315, 510$ はすべて15の倍数。

したがって15の倍数は 5個。

3. 最終的な答え

(1) 48個

(2) 16個

(3) 2個

(4) 5個