(1) 円Oにおいて、接線 $l$ が点Aで接している。$\angle{BAD}=60^\circ$ のとき、$x$ と $y$ の角度を求める。 (2) 円Oにおいて、$\angle{BAC}=94^\circ$、$\angle{BAD}=60^\circ$、$\angle{ABD}=\angle{CBD}$ のとき、$z$ の角度を求める。

1. 問題の内容

(1) 円Oにおいて、接線 $l$ が点Aで接している。$\angle{BAD}=60^\circ$ のとき、$x$ と $y$ の角度を求める。

(2) 円Oにおいて、$\angle{BAC}=94^\circ$、$\angle{BAD}=60^\circ$、$\angle{ABD}=\angle{CBD}$ のとき、$z$ の角度を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 接線と弦のなす角の定理より、$\angle{BAD} = \angle{BCA} = 60^\circ$。

* $\triangle{OBC}$ は $OB=OC$ の二等辺三角形であるから、$\angle{OBC} = \angle{OCB} = 60^\circ$。

* よって、$\angle{BOC}=x=180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$。

* 四角形 $ABCD$ の内角の和は $360^\circ$ であるから、$\angle{ACD} = y = 180^\circ - \angle{BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

(2)

* $\angle{ABD} = \angle{CBD}$ なので、円周角の定理より、$AD = DC$。したがって、$\triangle{ADC}$ は二等辺三角形である。

* $\angle{ADC} = z$ とすると、$\angle{DAC} = \angle{DCA}$。

* 三角形 $ADC$ の内角の和は $180^\circ$ なので、$z + \angle{DAC} + \angle{DCA} = 180^\circ$。

* $2\angle{DAC} = 180^\circ - z$ より、$\angle{DAC} = \angle{DCA} = \frac{1}{2}(180^\circ - z) = 90^\circ - \frac{z}{2}$。

* $\angle{BAC} = 94^\circ$ であり、$\angle{BAD} = 60^\circ$ なので、$\angle{DAC} = \angle{BAC} - \angle{BAD} = 94^\circ - 60^\circ = 34^\circ$。

* $34^\circ = 90^\circ - \frac{z}{2}$ より、$\frac{z}{2} = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$。

* したがって、$z = 56^\circ \times 2 = 112^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 60^\circ$, $y = 120^\circ$

(2) $z = 112^\circ$