$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$10\cos^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta - 5 = 0$ を満たす $|\tan\theta|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$10\cos^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta - 5 = 0$ を満たす $|\tan\theta|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $10\cos^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta - 5 = 0$ を変形する。

まず、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より、$5 = 5(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$ であるから、与式は

$10\cos^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta - 5(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 0$

$10\cos^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta - 5\cos^2\theta - 5\sin^2\theta = 0$

$5\cos^2\theta - 24\sin\theta\cos\theta - 5\sin^2\theta = 0$

$\cos^2\theta$ で両辺を割ると (ただし、$\cos\theta \neq 0$ であることは $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ から保証される)、

$5 - 24\tan\theta - 5\tan^2\theta = 0$

$5\tan^2\theta + 24\tan\theta - 5 = 0$

$(5\tan\theta - 1)(\tan\theta + 5) = 0$

よって、$\tan\theta = \frac{1}{5}$ または $\tan\theta = -5$ となる。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\tan\theta < 0$ なので、$\tan\theta = -5$ である。

したがって、 $|\tan\theta| = |-5| = 5$ となる。

3. 最終的な答え

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