半径10cmの球と、底面の半径が10cm、高さが20cmの円柱がある。 (1) 球の表面積と、円柱の側面積を求める。 (2) 円柱の器に水をいっぱいに入れ、その中に球を沈めてから球を取り出すと、残った水はいくらか求める。

1. 問題の内容

半径10cmの球と、底面の半径が10cm、高さが20cmの円柱がある。

(1) 球の表面積と、円柱の側面積を求める。

(2) 円柱の器に水をいっぱいに入れ、その中に球を沈めてから球を取り出すと、残った水はいくらか求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 球の表面積：半径 $r$ の球の表面積は $4\pi r^2$ で求められる。今回は $r=10$ なので、$4\pi (10)^2 = 400\pi$ cm$^2$

* 円柱の側面積：底面の半径 $r$、高さ $h$ の円柱の側面積は $2\pi r h$ で求められる。今回は $r=10$、$h=20$ なので、$2\pi (10)(20) = 400\pi$ cm$^2$

(2)

* 円柱の体積：底面の半径 $r$、高さ $h$ の円柱の体積は $\pi r^2 h$ で求められる。今回は $r=10$、$h=20$ なので、$\pi (10)^2 (20) = 2000\pi$ cm$^3$

* 球の体積：半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ で求められる。今回は $r=10$ なので、$\frac{4}{3}\pi (10)^3 = \frac{4000}{3}\pi$ cm$^3$

* 残った水の体積：円柱の体積から球の体積を引けば良いので、$2000\pi - \frac{4000}{3}\pi = \frac{6000}{3}\pi - \frac{4000}{3}\pi = \frac{2000}{3}\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) 球の表面積：$400\pi$ cm$^2$、円柱の側面積：$400\pi$ cm$^2$

(2) 残った水の体積：$\frac{2000}{3}\pi$ cm$^3$