半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さを$a$とし、$\alpha = \frac{2}{5}\pi$とおく。 (1) $\sin{3\alpha} + \sin{2\alpha} = 0$ が成り立つことを証明する。 (2) $\cos{\alpha}$ の値を求める。 (3) $a$ の値を求める。 (4) 線分ACの長さを求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さを$a$とし、$\alpha = \frac{2}{5}\pi$とおく。

(1) $\sin{3\alpha} + \sin{2\alpha} = 0$ が成り立つことを証明する。

(2) $\cos{\alpha}$ の値を求める。

(3) $a$ の値を求める。

(4) 線分ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = \frac{2}{5}\pi$ より、$5\alpha = 2\pi$ である。

$3\alpha + 2\alpha = 5\alpha = 2\pi$なので、$3\alpha = 2\pi - 2\alpha$ となる。

したがって、$\sin{3\alpha} = \sin{(2\pi - 2\alpha)} = -\sin{2\alpha}$

よって、$\sin{3\alpha} + \sin{2\alpha} = -\sin{2\alpha} + \sin{2\alpha} = 0$ となり、証明できた。

(2) (1)より、$\sin{3\alpha} + \sin{2\alpha} = 0$ が成り立つ。

和積の公式を用いると、

$2\sin{\frac{3\alpha + 2\alpha}{2}} \cos{\frac{3\alpha - 2\alpha}{2}} = 0$

$2\sin{\frac{5\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{2}} = 0$

ここで、$\alpha = \frac{2}{5}\pi$ より、$\frac{5\alpha}{2} = \pi$ であるから、

$2\sin{\pi} \cos{\frac{\alpha}{2}} = 0$

これは常に成り立つので、$\cos{\frac{\alpha}{2}}$ から求めることはできない。

ここで、$sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$、$sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$を用いると、

$sin3\alpha + sin2\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha + 2sin\alpha cos\alpha = sin\alpha(3-4sin^2\alpha + 2cos\alpha) = 0$

$\alpha = \frac{2}{5}\pi$ より、$sin\alpha \neq 0$であるから、

$3-4sin^2\alpha + 2cos\alpha = 0$

$3 - 4(1-cos^2\alpha) + 2cos\alpha = 0$

$3 - 4 + 4cos^2\alpha + 2cos\alpha = 0$

$4cos^2\alpha + 2cos\alpha - 1 = 0$

$cos\alpha = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$\alpha = \frac{2}{5}\pi$ より、$cos\alpha < 0$ であるから、

$cos\alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

(3) 正五角形の一つの内角は $\frac{(5-2)\pi}{5} = \frac{3}{5}\pi$

$\triangle OAB$を考えると、$\angle AOB = \frac{2\pi}{5} = \alpha$ である。OA = OB = 1なので、余弦定理より、

$a^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos\alpha = 2 - 2cos\alpha$

$a^2 = 2 - 2(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}) = 2 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

$a = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

(4) $\triangle OAC$を考えると、$\angle AOC = \frac{4\pi}{5} = 2\alpha$ である。OA = OC = 1なので、余弦定理より、

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos2\alpha = 2 - 2cos2\alpha$

$cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1 = 2(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4})^2 - 1 = 2(\frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{16}) - 1 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$

$AC^2 = 2 - 2(\frac{-1 - \sqrt{5}}{4}) = 2 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$

$AC = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{3\alpha} + \sin{2\alpha} = 0$ は成り立つ。（証明終わり）

(2) $\cos{\alpha} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

(3) $a = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

(4) $AC = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$