三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ が与えられている。このとき、角Aの大きさを求め、さらに辺ACを直径とする円の面積が、三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ が与えられている。このとき、角Aの大きさを求め、さらに辺ACを直径とする円の面積が、三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\sin A : \sin B : \sin C = a:b:c$ (a,b,cはそれぞれ角A,B,Cの対辺の長さ) であるから、$a:b:c = 7:5:3$ となる。

$a=7k, b=5k, c=3k$ （kは正の定数）とおくことができる。

(2) 余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2(5k)(3k)} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

したがって、$A = 120^\circ$

(3) 三角形ABCの面積をSとする。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} (5k)(3k) \sin 120^\circ = \frac{15}{2}k^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}k^2$

(4) 辺AC（長さb）を直径とする円の半径をrとすると、$r = \frac{b}{2} = \frac{5k}{2}$

円の面積をTとすると、$T = \pi r^2 = \pi (\frac{5k}{2})^2 = \frac{25}{4}\pi k^2$

(5) 円の面積Tが三角形ABCの面積Sの何倍かを求める。

$\frac{T}{S} = \frac{\frac{25}{4}\pi k^2}{\frac{15\sqrt{3}}{4}k^2} = \frac{25\pi}{15\sqrt{3}} = \frac{5\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

$A = 120^\circ$

円の面積は三角形の面積の $\frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$ 倍