三角形ABCにおいて、AB=2, CA=$\sqrt{3}-1$, 角CAB=30°のとき、辺BCの長さとsin(角ABC)の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, CA=$\sqrt{3}-1$, 角CAB=30°のとき、辺BCの長さとsin(角ABC)の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いてBCの長さを求めます。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$で表されます。

今回の問題では、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos(30^\circ)$となります。

$BC^2 = 2^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{3} (2(\sqrt{3}-1))$

$BC^2 = 4 + 4 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)$

$BC^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}+ 4\sqrt{3}$

$BC^2 = 8 - 4\sqrt{3}$

$BC^2 = 2$.

より、$BC = \sqrt{2}$となります。

次に、正弦定理を用いてsin(角ABC)を求めます。正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$で表されます。

今回は、$\frac{BC}{\sin(\angle CAB)} = \frac{CA}{\sin(\angle ABC)}$となるので、

$\sin(\angle ABC) = \frac{CA \cdot \sin(\angle CAB)}{BC}$

$\sin(\angle ABC) = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \sin(30^\circ)}{\sqrt{2}}$

$\sin(\angle ABC) = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$

$\sin(\angle ABC) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

$\sin(\angle ABC) = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}$

$\sin(\angle ABC) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

BC = $\sqrt{2}$

sin(角ABC) = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$