$\theta$ が与えられたときに、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値をそれぞれ求める問題です。 (1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ (2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$ (3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$

1. 問題の内容

$\theta$ が与えられたときに、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値をそれぞれ求める問題です。

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$

2. 解き方の手順

各$\theta$に対して、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求めます。三角関数の定義と単位円を利用して、値を求めます。

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$ の場合

$\frac{5}{4}\pi$ は第3象限にあり、$\frac{5}{4}\pi = \pi + \frac{\pi}{4}$ です。基準となる角度は $\frac{\pi}{4}$ です。

$\sin(\frac{5}{4}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{5}{4}\pi) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{5}{4}\pi) = \frac{\sin(\frac{5}{4}\pi)}{\cos(\frac{5}{4}\pi)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$ の場合

$\frac{11}{6}\pi$ は第4象限にあり、$\frac{11}{6}\pi = 2\pi - \frac{\pi}{6}$ です。基準となる角度は $\frac{\pi}{6}$ です。

$\sin(\frac{11}{6}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\frac{11}{6}\pi) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\frac{11}{6}\pi) = \frac{\sin(\frac{11}{6}\pi)}{\cos(\frac{11}{6}\pi)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ の場合

$-\frac{\pi}{3}$ は第4象限にあり、基準となる角度は $\frac{\pi}{3}$ です。

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(-\frac{\pi}{3})}{\cos(-\frac{\pi}{3})} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5}{4}\pi$:

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan\theta = 1$

(2) $\theta = \frac{11}{6}\pi$:

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{3}$:

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$

$\tan\theta = -\sqrt{3}$