問題は以下の4つです。 (1) $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = p\sqrt{3}$ のとき、$p$ の値を求める。 (2) $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = p + 2\sqrt{15}$ のとき、$p$ の値を求める。 (3) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化すると $\frac{\sqrt{5}}{p}$ となるとき、$p$ の値を求める。 (4) 循環小数 $0.666...$ を分数で表すと $\frac{p}{3}$ となるとき、$p$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の4つです。

(1) $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = p\sqrt{3}$ のとき、$p$ の値を求める。

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = p + 2\sqrt{15}$ のとき、$p$ の値を求める。

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化すると $\frac{\sqrt{5}}{p}$ となるとき、$p$ の値を求める。

(4) 循環小数 $0.666...$ を分数で表すと $\frac{p}{3}$ となるとき、$p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = p\sqrt{3}$

左辺を計算すると $7\sqrt{3} = p\sqrt{3}$ となります。よって、$p = 7$ です。

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = p + 2\sqrt{15}$

左辺を展開すると $(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$ となります。

したがって、$8 + 2\sqrt{15} = p + 2\sqrt{15}$ より、$p = 8$ です。

(3) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{p}$ より、$p = 5$ です。

(4) 循環小数 $0.666...$ を分数で表します。

$x = 0.666...$ とすると、

$10x = 6.666...$

$10x - x = 6.666... - 0.666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} = \frac{p}{3}$ より、$p = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $p = 7$

(2) $p = 8$

(3) $p = 5$

(4) $p = 2$