$x = 2 + \sqrt{3}$、$y = 2 - \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $4x^2 + 3xy + 4y^2$ (2) $x^3 + y^3$ (3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{3}$、$y = 2 - \sqrt{3}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $4x^2 + 3xy + 4y^2$

(2) $x^3 + y^3$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 + 3xy + 4y^2$ の値を求める。

まず、$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x+y = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

$xy = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

次に、与えられた式を変形します。

$4x^2 + 3xy + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) + 3xy$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

したがって、

$4x^2 + 3xy + 4y^2 = 4(14) + 3(1) = 56 + 3 = 59$

(2) $x^3 + y^3$ の値を求める。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

すでに $x+y = 4$ と $xy = 1$、$x^2 + y^2 = 14$ を求めています。

$x^3 + y^3 = (4)(14 - 1) = 4(13) = 52$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求める。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

$x^2 + y^2 = 14$ と $xy = 1$ を使います。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{14}{1} = 14$

3. 最終的な答え

(1) $4x^2 + 3xy + 4y^2 = 59$

(2) $x^3 + y^3 = 52$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 14$