問題は以下の2つです。 (1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 6$のとき、$4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$の最大値と最小値を求めよ。 (2) $x^2 + y^2 = 4$のとき、$x^2 - 2y^2 + 6x$の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y = 6$のとき、$4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$の最大値と最小値を求めよ。

(2) $x^2 + y^2 = 4$のとき、$x^2 - 2y^2 + 6x$の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$2x + y = 6$ より $y = 6 - 2x$。$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ なので、$0 \leq x \leq 3$。

$f(x, y) = 4x^2 + 3xy + y^2 - 6x - 3y$ とおく。

$y = 6 - 2x$を代入すると、

\begin{align*}

f(x) &= 4x^2 + 3x(6 - 2x) + (6 - 2x)^2 - 6x - 3(6 - 2x) \\

&= 4x^2 + 18x - 6x^2 + 36 - 24x + 4x^2 - 6x - 18 + 6x \\

&= 2x^2 - 6x + 18 \\

&= 2(x^2 - 3x) + 18 \\

&= 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} + 18 \\

&= 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{36}{2} \\

&= 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{2}

\end{align*}

$0 \leq x \leq 3$ なので、$x = \frac{3}{2}$で最小値$\frac{27}{2}$をとり、$x = 0$ または $x = 3$で最大値$18$をとる。

(2)

$x = 2\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$とおく。

$f(x, y) = x^2 - 2y^2 + 6x$ とおく。

\begin{align*}

f(\theta) &= 4\cos^2\theta - 8\sin^2\theta + 12\cos\theta \\

&= 4\cos^2\theta - 8(1 - \cos^2\theta) + 12\cos\theta \\

&= 4\cos^2\theta - 8 + 8\cos^2\theta + 12\cos\theta \\

&= 12\cos^2\theta + 12\cos\theta - 8 \\

&= 12(\cos^2\theta + \cos\theta) - 8 \\

&= 12(\cos\theta + \frac{1}{2})^2 - 12 \cdot \frac{1}{4} - 8 \\

&= 12(\cos\theta + \frac{1}{2})^2 - 3 - 8 \\

&= 12(\cos\theta + \frac{1}{2})^2 - 11

\end{align*}

$-1 \leq \cos\theta \leq 1$ なので、$\cos\theta = 1$ のとき最大値 $12(1 + \frac{1}{2})^2 - 11 = 12(\frac{9}{4}) - 11 = 27 - 11 = 16$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $-11$

$\cos\theta = -1$ のとき $12(-1 + \frac{1}{2})^2 - 11 = 12(\frac{1}{4}) - 11 = 3 - 11 = -8$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $18$, 最小値: $\frac{27}{2}$

(2) 最大値: $16$, 最小値: $-11$