2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とする。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。 (2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求める。 (3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解く。また、整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める（問題文に $k$ が登場していないので、この部分は省略します）。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a, b$ ($a < b$)とする。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求める。

(2) $a^2 + b^2, \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求める。

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解く。また、整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める（問題文に $k$ が登場していないので、この部分は省略します）。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ なので、$a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2$ を求める。

$a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ を求める。

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

$ab = (2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 4 - 6 = -2$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ を解く。

$|\frac{b}{a}| = |\frac{1}{\frac{a}{b}}|$

$\frac{a}{b} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$

$|\frac{b}{a}| = |\frac{1}{a/b}| = |\frac{1}{-5 + 2\sqrt{6}}| = |\frac{-5 - 2\sqrt{6}}{(-5 + 2\sqrt{6})(-5 - 2\sqrt{6})}| = |\frac{-5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24}| = |-5 - 2\sqrt{6}| = 5 + 2\sqrt{6}$

$|x - (-5 + 2\sqrt{6})| \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-5 - 2\sqrt{6} \le x + 5 - 2\sqrt{6} \le 5 + 2\sqrt{6}$

$-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

約 $-10 \le x \le 4(2.449) = 9.796$

整数 $x$ は $-10, -9, -8, ..., 8, 9$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}, b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $-10 \le x - (-5 + 2\sqrt{6}) \le 5 + 2\sqrt{6}$ を解くと $-10 \le x \le 4\sqrt{6}$

整数 $x$ は $-10, -9, -8, ..., 8, 9$