2つの直線 $ax + 2y = 1$ と $x + (a+1)y = 1$ が与えられています。 (1) この2つの直線が平行になるような $a$ の値を求めます。 (2) この2つの直線が垂直になるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + 2y = 1$ と $x + (a+1)y = 1$ が与えられています。

(1) この2つの直線が平行になるような $a$ の値を求めます。

(2) この2つの直線が垂直になるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの直線が平行になる条件は、傾きが等しく、y切片が異なることです。それぞれの直線の式を $y = mx + b$ の形に変形し、傾きを比較します。

直線①: $ax + 2y = 1$ を変形すると、

$2y = -ax + 1$

$y = -\frac{a}{2}x + \frac{1}{2}$

直線②: $x + (a+1)y = 1$ を変形すると、

$(a+1)y = -x + 1$

$y = -\frac{1}{a+1}x + \frac{1}{a+1}$

2つの直線が平行になるには、傾きが等しいので、

$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{a+1}$

$a(a+1) = 2$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

$a = -2$ または $a = 1$

$a = -2$のとき、直線①は$y = x + \frac{1}{2}$、直線②は$y = x + 1$なので、y切片が異なる。

$a = 1$のとき、直線①は$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$、直線②は$y = -\frac{1}{2}x + 1$なので、y切片が異なる。

よって、$a = -2, 1$

(2) 2つの直線が垂直になる条件は、傾きの積が-1になることです。

$(-\frac{a}{2})(-\frac{1}{a+1}) = -1$

$\frac{a}{2(a+1)} = -1$

$a = -2(a+1)$

$a = -2a - 2$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, 1$

(2) $a = -\frac{2}{3}$