数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列の初項は $a_1 = 6$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 4a_n - 3$ で与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列の初項は $a_1 = 6$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 4a_n - 3$ で与えられています。

2. 解き方の手順

この漸化式は特性方程式を用いて解くことができます。

まず、$a_{n+1} = 4a_n - 3$ の特性方程式を $\alpha = 4\alpha - 3$ とおきます。

これを解くと、

$\alpha = 4\alpha - 3$

$3\alpha = 3$

$\alpha = 1$

となります。

次に、漸化式を以下のように変形します。

$a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$

$a_{n+1} - 1 = 4(a_n - 1)$

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、

$b_{n+1} = 4b_n$

となり、$\{b_n\}$ は公比が $4$ の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、

$b_1 = a_1 - 1 = 6 - 1 = 5$

となります。

したがって、$b_n$ の一般項は、

$b_n = 5 \cdot 4^{n-1}$

と表されます。

最後に、$a_n$ を求めます。

$a_n = b_n + 1$ より、

$a_n = 5 \cdot 4^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 5 \cdot 4^{n-1} + 1$