与えられた漸化式を解いて一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n + \frac{1}{2} = 0$ (2) $a_1 = -1$, $a_{n+1} + a_n = 0$ (3) $a_1 = 3$, $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

1. 問題の内容

与えられた漸化式を解いて一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n + \frac{1}{2} = 0$

(2) $a_1 = -1$, $a_{n+1} + a_n = 0$

(3) $a_1 = 3$, $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{2}$ は、等差数列の形をしています。

初項 $a_1 = 2$, 公差 $d = -\frac{1}{2}$ の等差数列なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 2 + (n-1)(-\frac{1}{2})$

$a_n = 2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$

$a_n = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}n$

$a_n = \frac{5-n}{2}$

(2)

漸化式 $a_{n+1} = -a_n$ は、$a_{n+1} = (-1) a_n$ と変形できるので、等比数列です。

初項 $a_1 = -1$, 公比 $r = -1$ の等比数列なので、一般項は

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

$a_n = (-1) \cdot (-1)^{n-1}$

$a_n = (-1)^n$

(3)

漸化式 $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$ を $a_{n+1} - a_n = 2n^2 + n - \frac{1}{2}$ と変形します。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k - \frac{1}{2})$

$a_n = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 3 + 2\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{1}{2}(n-1)$

$a_n = 3 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{3} + \frac{n(n-1)}{2} - \frac{n-1}{2}$

$a_n = 3 + \frac{2n(n-1)(2n-1) + 3n(n-1) - 3(n-1)}{6}$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)[2n(2n-1) + 3n - 3]}{6}$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)(4n^2 - 2n + 3n - 3)}{6}$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)(4n^2 + n - 3)}{6}$

$a_n = 3 + \frac{(n-1)(4n-3)(n+1)}{6}$

$a_n = \frac{18 + (n-1)(4n^2 + n - 3)}{6}$

$a_n = \frac{18 + 4n^3 + n^2 - 3n - 4n^2 - n + 3}{6}$

$a_n = \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 21}{6}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{4 - 3 - 4 + 21}{6} = \frac{18}{6} = 3$ となり、初項の条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{5-n}{2}$

(2) $a_n = (-1)^n$

(3) $a_n = \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 21}{6}$