## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の3つの数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} - a_n + \frac{1}{2} = 0$

(2) $a_1 = -1$, $a_{n+1} + a_n = 0$

(3) $a_1 = 3$, $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

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2. 解き方の手順

### (1)

$a_{n+1} - a_n + \frac{1}{2} = 0$ より、 $a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{2}$。これは等差数列なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d$

ここで、$a_1 = 2$、$d = -\frac{1}{2}$ なので、

$a_n = 2 + (n-1)(-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}n$

### (2)

$a_{n+1} + a_n = 0$ より、$a_{n+1} = -a_n$。これは公比が-1の等比数列なので、一般項は

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

ここで、$a_1 = -1$、$r = -1$ なので、

$a_n = -1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^n$

### (3)

$2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$ より、$a_{n+1} - a_n = 2n^2 + n - \frac{1}{2}$。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k - \frac{1}{2})$

$a_1 = 3$ なので、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k - \frac{1}{2})$

$= 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{1}{2} (n-1)$

$= 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{3} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{1}{2} (n-1)$

$= 3 + \frac{(n-1)}{6} [2n(2n-1) + 3n - 3]$

$= 3 + \frac{(n-1)}{6} [4n^2 - 2n + 3n - 3]$

$= 3 + \frac{(n-1)}{6} [4n^2 + n - 3]$

$= 3 + \frac{(n-1)(4n - 3)(n+1)}{6}$

$= 3 + \frac{(4n^2+n-3)(n-1)}{6} = 3 + \frac{4n^3 - 4n^2 + n^2 - n - 3n + 3}{6}$

$= 3 + \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 3}{6} = \frac{18 + 4n^3 - 3n^2 - 4n + 3}{6}$

$= \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 21}{6}$

$n=1$ のとき、$\frac{4-3-4+21}{6} = \frac{18}{6} = 3 = a_1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立つ。

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3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}n$

(2) $a_n = (-1)^n$

(3) $a_n = \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 21}{6}$