3次方程式 $x^3 - 12x - a = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、正の定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 12x - a = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、正の定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - 12x$ とおきます。このとき、与えられた方程式は $f(x) = a$ と書き換えられます。

3次関数 $f(x)$ が異なる2つの実数解を持つためには、$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ の直線が2点で交わることが必要です。そのためには、$f(x)$ が極値を持ち、その極値のいずれかと $a$ が一致する必要があります。

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 12 = 0$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$x = -2$ のとき $f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$

$x = 2$ のとき $f(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$

したがって、$f(x)$ は $x = -2$ で極大値16を、$x = 2$ で極小値-16をとります。

方程式 $f(x) = a$ が異なる2つの実数解を持つためには、$a = 16$ または $a = -16$ である必要があります。

問題文より、$a$ は正の定数であるため、$a = 16$ となります。

3. 最終的な答え

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