二次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ の $-1 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 - 3x + 4$ の $-1 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 4$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{3}{4})^2 + 4$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 4$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{23}{8}$

この二次関数の頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{23}{8})$ です。

定義域 $-1 \leq x \leq 2$ の範囲で、軸 $x = \frac{3}{4}$ が含まれているので、頂点で最小値をとる可能性があります。

次に、定義域の端点での関数の値を計算します。

$x = -1$ のとき:

$y = 2(-1)^2 - 3(-1) + 4 = 2 + 3 + 4 = 9$

$x = 2$ のとき:

$y = 2(2)^2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6$

頂点のy座標は $\frac{23}{8} = 2.875$ であり、これは定義域内の値です。

したがって、最小値は $x = \frac{3}{4}$ のときの $y = \frac{23}{8}$ です。

最大値は、端点でのy座標の大きい方なので、$x = -1$ のときの $y = 9$ です。

3. 最終的な答え

最大値：9 ($x = -1$のとき)

最小値：$\frac{23}{8}$ ($x = \frac{3}{4}$のとき)