与えられた行列式を計算し、因数分解する問題です。具体的には、 (1) 4x4 行列の行列式を計算する。 (2) 4x4 行列の行列式を計算する。 (3) 4x4 行列式の因数分解を行う。

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算し、因数分解する問題です。具体的には、

(1) 4x4 行列の行列式を計算する。

(2) 4x4 行列の行列式を計算する。

(3) 4x4 行列式の因数分解を行う。

2. 解き方の手順

(1)

まず、行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

第一行を基準として、他の行の要素を0に近づけていきます。

$$

\begin{vmatrix}

5 & 3 & 4 & -6 \\

-3 & -5 & -5 & -4 \\

1 & 2 & 1 & 5 \\

2 & 3 & 3 & 1

\end{vmatrix}

$$

第三行を第一行と入れ替える (1行目と3行目を入れ替える):

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 & 5 \\

-3 & -5 & -5 & -4 \\

5 & 3 & 4 & -6 \\

2 & 3 & 3 & 1

\end{vmatrix}

$$

次に、1行目を使って2,3,4行目の1列目の成分を0にする。

2行目に1行目の3倍を加える。

3行目から1行目の5倍を引く。

4行目から1行目の2倍を引く。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 & 5 \\

0 & 1 & -2 & 11 \\

0 & -7 & -1 & -31 \\

0 & -1 & 1 & -9

\end{vmatrix}

$$

次に、2行目を使って3,4行目の2列目の成分を0にする。

3行目に2行目の7倍を加える。

4行目に2行目を加える。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 & 5 \\

0 & 1 & -2 & 11 \\

0 & 0 & -15 & 46 \\

0 & 0 & -1 & 2

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目を使って4行目の3列目の成分を0にする。

4行目から3行目の(-1/15)倍を引く。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 & 5 \\

0 & 1 & -2 & 11 \\

0 & 0 & -15 & 46 \\

0 & 0 & 0 & 2 - 46/15

\end{vmatrix}

$$

$2 - 46/15 = (30 - 46)/15 = -16/15$

行列式は

$1 * 1 * (-15) * (-16/15) = 16$

(2)

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

3 & 6 & 1 & -6 \\

-2 & -7 & -4 & 3 \\

1 & 8 & 1 & -4

\end{vmatrix}

$$

1行目を使って他の行の1列目の成分を0にする。

2行目から1行目の(3/2)倍を引く。

3行目に1行目を足す。

4行目から1行目の(1/2)倍を引く。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\

0 & -6 & -8 & -2 \\

0 & 15/2 & 3 & -3/2

\end{vmatrix}

$$

2列目を使って他の行の2列目の成分を0にする。

3行目に2行目の(6/(9/2)) = 4/3倍を加える。

4行目から2行目の(15/2)/(9/2) = 5/3倍を引く。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\

0 & 0 & 28/3 - 8 & 2 - 2 \\

0 & 0 & 3 - 35/6 & -3/2 - 5/2

\end{vmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & -4 & -5 \\

0 & 9/2 & 7 & 3/2 \\

0 & 0 & 4/3 & 0 \\

0 & 0 & -17/6 & -4

\end{vmatrix}

$$

行列式は

$2 * (9/2) * (4/3) * (-4) = -48$

(3)

$$

\begin{vmatrix}

x & y & x & x \\

x & y & y & y \\

y & y & y & x \\

x & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

1列目 - 3列目

$$

\begin{vmatrix}

0 & y & x & x \\

x-y & y & y & y \\

0 & y & y & x \\

x-y & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

1列目-4列目

$$

\begin{vmatrix}

-x & y & x & x \\

x-y-y & y & y & y \\

-x & y & y & x \\

0 & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

列の性質を使うのは難しいので、行の性質を使うことを検討する。

1行目+2行目+3行目+4行目

$$

\begin{vmatrix}

3x+3y & 3x+3y & 3x+3y & 3x+3y \\

x & y & y & y \\

y & y & y & x \\

x & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

$3x+3y = 3(x+y)$

$3(x+y) \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

x & y & y & y \\

y & y & y & x \\

x & x & y & x

\end{vmatrix}

$$

2列目-1列目、3列目-1列目、4列目-1列目

$3(x+y) \begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

x & y-x & y-x & y-x \\

y & 0 & 0 & x-y \\

x & 0 & y-x & 0

\end{vmatrix}

$$

$3(x+y) \begin{vmatrix}

y-x & y-x & y-x \\

0 & 0 & x-y \\

0 & y-x & 0

\end{vmatrix}

$$

$3(x+y)(y-x) \begin{vmatrix}

0 & x-y \\

y-x & 0

\end{vmatrix}

$$

$3(x+y)(-(x-y)) [0 - (x-y)(y-x)]$

$3(x+y)(-1)(x-y) (-1)[(x-y)^2]$

$3(x+y)(x-y)(x-y)^2$

$3(x+y)(x-y)^3$

3. 最終的な答え

(1) 16

(2) -48

(3) $3(x+y)(x-y)^3$