与えられた対数方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $\log_3(x+2) + \log_3(x-1) = \log_3 4$ (2) $\log_{\frac{1}{2}}(2-x) > -2$ (3) $\log_2 x + \log_2(x+1) < 1$

1. 問題の内容

与えられた対数方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $\log_3(x+2) + \log_3(x-1) = \log_3 4$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}(2-x) > -2$

(3) $\log_2 x + \log_2(x+1) < 1$

2. 解き方の手順

(1) 対数方程式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-1) = \log_3 4$ を解きます。

真数条件から、$x+2 > 0$ かつ $x-1 > 0$ である必要があるので、$x > -2$ かつ $x > 1$。よって、$x > 1$。

対数の性質を用いて、左辺をまとめます。

$\log_3(x+2) + \log_3(x-1) = \log_3((x+2)(x-1))$

したがって、$\log_3((x+2)(x-1)) = \log_3 4$

真数を比較して、 $(x+2)(x-1) = 4$

$x^2 + x - 2 = 4$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3, 2$

真数条件 $x > 1$ より、$x=2$ のみが解となります。

(2) 対数不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(2-x) > -2$ を解きます。

真数条件から、$2-x > 0$ である必要があるので、$x < 2$。

底が1より小さいので、不等号の向きが変わります。

$2-x < (\frac{1}{2})^{-2}$

$2-x < 4$

$-x < 2$

$x > -2$

したがって、$-2 < x < 2$

(3) 対数不等式 $\log_2 x + \log_2(x+1) < 1$ を解きます。

真数条件から、$x > 0$ かつ $x+1 > 0$ である必要があるので、$x > 0$。

対数の性質を用いて、左辺をまとめます。

$\log_2 x + \log_2(x+1) = \log_2(x(x+1))$

したがって、$\log_2(x(x+1)) < 1$

$x(x+1) < 2^1$

$x^2 + x < 2$

$x^2 + x - 2 < 0$

$(x+2)(x-1) < 0$

$-2 < x < 1$

真数条件 $x > 0$ より、$0 < x < 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $-2 < x < 2$

(3) $0 < x < 1$