等式 $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc$ を用いて、次の式を因数分解せよ。 $(x-z)^3 + (y-z)^3 - (x+y-2z)^3$

はい、承知しました。

1. 問題の内容

等式 $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc$ を用いて、次の式を因数分解せよ。

$(x-z)^3 + (y-z)^3 - (x+y-2z)^3$

2. 解き方の手順

$A = x-z$, $B = y-z$, $C = -(x+y-2z)$ とおくと、与式は $A^3 + B^3 + C^3$ となります。

ここで、$A + B + C = (x-z) + (y-z) - (x+y-2z) = x - z + y - z - x - y + 2z = 0$ であることに注目します。

等式 $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc$ において、$a+b+c = 0$ とすると、

$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立ちます。

したがって、$A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$ となります。

$3ABC = 3(x-z)(y-z)(-(x+y-2z)) = -3(x-z)(y-z)(x+y-2z)$

3. 最終的な答え

$-3(x-z)(y-z)(x+y-2z)$