$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1-3i$ を解にもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

## 問題3-1

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1-3i$ を解にもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式の係数が実数であるとき、複素数解を持つならば、その共役複素数も解に持つ。したがって、$1+3i$ も解である。

$1-3i$ と $1+3i$ を解にもつ二次方程式は、

$(x - (1-3i))(x - (1+3i)) = (x-1+3i)(x-1-3i) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 2x + 10 = 0$ である。

したがって、$x^3 + ax^2 + bx - 20$ は $x^2 - 2x + 10$ で割り切れる。

$x^3 + ax^2 + bx - 20 = (x^2 - 2x + 10)(x+c)$ とおくと、右辺を展開して

$x^3 + (c-2)x^2 + (10-2c)x + 10c$ となる。

両辺の係数を比較すると、

$a = c-2$

$b = 10-2c$

$-20 = 10c$

したがって、$c = -2$ である。

$a = c-2 = -2-2 = -4$

$b = 10 - 2c = 10 - 2(-2) = 14$

3. 最終的な答え

$a = -4$

## 問題3-2

1. 問題の内容

問題3-1のとき、定数 $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3-1の解き方ですでに $b$ の値を求めている。$b = 14$ である。

3. 最終的な答え

$b = 14$

## 問題3-3

1. 問題の内容

問題3-1のとき、他の虚数解を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3-1の解き方で、すでに虚数解 $1+3i$ を求めている。

3. 最終的な答え

$1+3i$

## 問題3-4

1. 問題の内容

問題3-1のとき、他の実数解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^3 + ax^2 + bx - 20 = (x^2 - 2x + 10)(x+c) = 0$ となる $c$ を求め、実数解 $x = -c$ を求める。

問題3-1の解き方より、$c = -2$ である。

したがって、実数解は $x = -c = -(-2) = 2$ である。

3. 最終的な答え

$2$