等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_3 = 5$、$a_1 + a_4 = 9$ を満たしている。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^n (a_k - 2)(a_k - 1)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$S_n$ を $n$ を用いて表せ。 (3) (2) のとき $T_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{S_k}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ があり、$a_3 = 5$、$a_1 + a_4 = 9$ を満たしている。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^n (a_k - 2)(a_k - 1)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とするとき、$S_n$ を $n$ を用いて表せ。

(3) (2) のとき $T_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{S_k}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とする。$T_n$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とする。

$a_3 = a + 2d = 5$

$a_1 + a_4 = a + a + 3d = 2a + 3d = 9$

連立方程式を解く。

$2(a + 2d) = 2 \cdot 5 = 10$

$2a + 4d = 10$

$(2a + 4d) - (2a + 3d) = 10 - 9$

$d = 1$

$a + 2(1) = 5$

$a = 3$

したがって、 $a_n = 3 + (n-1) \cdot 1 = n+2$

(2)

$S_n = \sum_{k=1}^n (a_k - 2)(a_k - 1) = \sum_{k=1}^n (k+2-2)(k+2-1) = \sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n (k^2 + k) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3)

$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{S_k} = \sum_{k=1}^n \frac{k}{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}} = \sum_{k=1}^n \frac{3}{(k+1)(k+2)} = 3 \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} = 3 \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2})$

$T_n = 3 [ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) ] = 3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}) = 3 (\frac{n+2 - 2}{2(n+2)}) = \frac{3n}{2(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n+2$

(2) $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) $T_n = \frac{3n}{2(n+2)}$