問題1は、与えられた二次式を平方完成の形に変形する問題です。問題2は、与えられた二次関数について、頂点、x切片、y切片を求め、グラフを右図に描く問題です。ここでは問題1の(3),(4)と問題2の(2),(3)を解きます。

1. 問題の内容

問題1は、与えられた二次式を平方完成の形に変形する問題です。問題2は、与えられた二次関数について、頂点、x切片、y切片を求め、グラフを右図に描く問題です。ここでは問題1の(3),(4)と問題2の(2),(3)を解きます。

2. 解き方の手順

問題1 (3) $x^2 - 6x + 4$

平方完成を行うために、$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$の形を利用します。

まず、$x^2 - 6x$の部分に注目し、$2a = 6$となるように$a$を求めると、$a = 3$となります。

したがって、$x^2 - 6x + 4 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 4 = (x-3)^2 - 5$となります。

問題1 (4) $\frac{1}{5}x^2 - 2x + 5$

まず、$x^2$の係数で括ります。

$\frac{1}{5}x^2 - 2x + 5 = \frac{1}{5}(x^2 - 10x) + 5$

次に、$x^2 - 10x$の部分を平方完成します。

$x^2 - 10x = (x^2 - 10x + 25) - 25 = (x-5)^2 - 25$

したがって、$\frac{1}{5}(x^2 - 10x) + 5 = \frac{1}{5}((x-5)^2 - 25) + 5 = \frac{1}{5}(x-5)^2 - 5 + 5 = \frac{1}{5}(x-5)^2$となります。

問題2 (2) $y = -x^2 + 3$

まず、$y = a(x-p)^2 + q$の形に変形します。

$y = -x^2 + 3 = -(x^2) + 3 = -(x-0)^2 + 3$

頂点は$(0, 3)$です。

y切片は、$x=0$の時の$y$の値なので、$y = -0^2 + 3 = 3$です。

x切片は、$y=0$の時の$x$の値なので、$-x^2 + 3 = 0$を解きます。

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

x切片は$(\sqrt{3}, 0)$と$(-\sqrt{3}, 0)$です。

問題2 (3) $y = x^2 + 2x + 1$

$y = (x+1)^2$

頂点は$(-1, 0)$です。

y切片は、$x=0$の時の$y$の値なので、$y = 0^2 + 2*0 + 1 = 1$です。

x切片は、$y=0$の時の$x$の値なので、$x^2 + 2x + 1 = 0$を解きます。

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

x切片は$(-1, 0)$です。

3. 最終的な答え

問題1 (3): $(x-3)^2 - 5$

問題1 (4): $\frac{1}{5}(x-5)^2$

問題2 (2): 頂点 $(0, 3)$, x切片 $(\sqrt{3}, 0), (-\sqrt{3}, 0)$, y切片 $(0, 3)$

問題2 (3): 頂点 $(-1, 0)$, x切片 $(-1, 0)$, y切片 $(0, 1)$