(2) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-2)$ を計算する。 (3) $\sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2)$ を計算する。

1. 問題の内容

(2) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-2)$ を計算する。

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2)$ を計算する。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-2) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 4k)$と展開する。

次に、$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 4k) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$と変形する。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$と$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$の公式を用いる。

したがって、$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)$となる。

$n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) = n(n+1)(2n+1-2) = n(n+1)(2n-1) = n(2n^2 - n + 2n - 1) = n(2n^2 + n - 1) = 2n^3 + n^2 - n$となる。

(3)

まず、$\sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 6)$と展開する。

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 6) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 6$と変形する。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} 6 = 6n$の公式を用いる。

したがって、$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 6 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 6n$となる。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 6n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 36n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 - 36)}{6} = \frac{n(2n^2 + 6n - 32)}{6} = \frac{n(n^2 + 3n - 16)}{3} = \frac{n^3 + 3n^2 - 16n}{3}$となる。

3. 最終的な答え

(2) $2n^3 + n^2 - n$

(3) $\frac{n^3 + 3n^2 - 16n}{3}$