次の2次関数について、最大値と最小値を求めます。 (1) $y = 3x^2 + 2$ (2) $y = -(x-1)^2 + 5$

1. 問題の内容

次の2次関数について、最大値と最小値を求めます。

(1) $y = 3x^2 + 2$

(2) $y = -(x-1)^2 + 5$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 + 2$ について

この関数は下に凸な放物線です。

$x^2$ の係数が正なので、最小値はありますが、最大値はありません。

$x^2$ は常に0以上なので、$x=0$ のとき最小値をとります。

$x=0$ を代入すると、$y = 3(0)^2 + 2 = 2$ となります。

(2) $y = -(x-1)^2 + 5$ について

この関数は上に凸な放物線です。

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$-(x-1)^2$ は常に0以下です。

したがって、$y = -(x-1)^2 + 5$ は $x=1$ のとき最大値をとります。

$x=1$ を代入すると、$y = -(1-1)^2 + 5 = 5$ となります。

$x$ がどのような値をとっても、$y$ の値は5以下にしかなりません。

したがって、最大値は5です。

上に凸な放物線なので最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $2$ (最大値なし)

(2) 最大値: $5$ (最小値なし)