命題「$x+y = 4 \implies x \le 2$ または $y \le 2$」の裏の命題と、その真偽を①～④から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

命題「$x+y = 4 \implies x \le 2$ または $y \le 2$」の裏の命題と、その真偽を①～④から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

与えられた命題「$x+y = 4 \implies x \le 2$ または $y \le 2$」の裏を求める。

命題「$P \implies Q$」の裏は「$\lnot Q \implies \lnot P$」である。

ここで、$P$は「$x+y=4$」であり、$Q$は「$x \le 2$ または $y \le 2$」である。

$\lnot Q$は「$x > 2$ かつ $y > 2$」となる。

$\lnot P$は「$x+y \ne 4$」となる。

したがって、裏の命題は「$x > 2$ かつ $y > 2 \implies x+y \ne 4$」となる。

この命題の真偽を考える。

$x > 2$ かつ $y > 2$ ならば、$x+y > 4$ である。したがって、$x+y \ne 4$ は常に成り立つ。

よって、「$x > 2$ かつ $y > 2 \implies x+y \ne 4$」は真である。

選択肢を見ると、①が「$x+y \ne 4 \implies x > 2$ かつ $y > 2$」とあり、これは命題の逆である。真偽は不明である。

③が「$x+y \ne 4 \implies x > 2$ かつ $y > 2$」とあり、これは命題の逆である。偽と書いてある。

②が「$x \le 2$ または $y \le 2 \implies x+y = 4$」とあり、これは命題の対偶の逆であり、真と書いてある。

④が「$x \le 2$ または $y \le 2 \implies x+y = 4$」とあり、これは命題の対偶の逆であり、偽と書いてある。

選択肢の中で裏の命題は「$x > 2$ かつ $y > 2 \implies x+y \ne 4$」である。

しかし選択肢にこの形の命題はない。

与えられた命題の裏は $\lnot Q \implies \lnot P$ であるから、「$x > 2$ かつ $y > 2 \implies x+y \ne 4$」

選択肢①「$x+y \ne 4 \implies x>2$ かつ $y>2$」これは真と書いてある。

選択肢③「$x+y \ne 4 \implies x>2$ かつ $y>2$」これは偽と書いてある。

$x+y \ne 4$ のとき、$x>2$ かつ $y>2$とは限らないので、偽である。

したがって③が正しい。

3. 最終的な答え

③