命題「$x^2 \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$」の逆を求め、その真偽を判定する問題です。選択肢として4つの命題とその真偽が与えられており、正しいものを選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

命題「$x^2 \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$」の逆を求め、その真偽を判定する問題です。選択肢として4つの命題とその真偽が与えられており、正しいものを選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた命題「$x^2 \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$」の逆は、結論と仮定を入れ替えたものです。つまり、「$x \geq 3 \Rightarrow x^2 \geq 9$」となります。

次に、この逆の命題の真偽を判定します。

$x \geq 3$である任意の$x$について、$x^2$は常に9以上になります。例えば、$x = 3$のとき、$x^2 = 9$、$x = 4$のとき、$x^2 = 16$です。

したがって、「$x \geq 3 \Rightarrow x^2 \geq 9$」は真であると言えます。

しかし、選択肢の②と④は命題自体は正しいものの、真偽の判定が異なっています。問題文に注意すると、命題「$x^2 \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$」の逆は、$\lnot (x \geq 3) \Rightarrow \lnot (x^2 \geq 9)$、すなわち、$x < 3 \Rightarrow x^2 < 9$です。

この命題は、$x=-4$を考えると、$x<3$ですが、$x^2 = 16 > 9$となり、成り立ちません。したがって、偽です。

選択肢1は、$x^2 < 9 \Rightarrow x < 3$ は真と書いてありますが、これは偽です。（例：$x=-4$のとき、$x^2 = 16 > 9$で、$x < 3$）

選択肢3は、$x^2 < 9 \Rightarrow x < 3$ は偽と書いてあり、正しいです。（例：$x=-1$のとき、$x^2=1 < 9$で、$x < 3$）

選択肢4は、$x \geq 3 \Rightarrow x^2 \geq 9$ は偽と書いてあり、正しくありません。

3. 最終的な答え

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