$a+b=1$ のとき、$a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$a+b=1$ のとき、$a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a+b=1$ より、$b = 1 - a$ が成り立ちます。

これを $a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ の左辺と右辺に代入し、それぞれを計算します。

左辺:

$a^3 + b^3 + 2 = a^3 + (1-a)^3 + 2$

$= a^3 + (1 - 3a + 3a^2 - a^3) + 2$

$= a^3 + 1 - 3a + 3a^2 - a^3 + 2$

$= 3a^2 - 3a + 3$

右辺:

$3\{1 - (1-a)(1-b)\} = 3\{1 - (1-a)(1-(1-a))\}$

$= 3\{1 - (1-a)(a)\}$

$= 3\{1 - (a - a^2)\}$

$= 3\{1 - a + a^2\}$

$= 3 - 3a + 3a^2$

$= 3a^2 - 3a + 3$

左辺と右辺を計算した結果が同じになるので、$a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a^3 + b^3 + 2 = 3\{1 - (1-a)(1-b)\}$ は成り立つ。