与えられた4つの2次関数について、グラフの概形を考え、軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = (x+3)^2$ (2) $y = 2(x-1)^2$ (3) $y = -(x-2)^2$ (4) $y = -\frac{1}{2}(x+4)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、グラフの概形を考え、軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = (x+3)^2$

(2) $y = 2(x-1)^2$

(3) $y = -(x-2)^2$

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+4)^2$

2. 解き方の手順

2次関数の一般形は $y = a(x-p)^2 + q$ で表され、このとき頂点は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。それぞれの関数について、この形に変形することで頂点と軸を求めます。グラフは、頂点を中心に、係数 $a$ によって開き方が変わります。$a > 0$ ならば下に凸、$a < 0$ ならば上に凸になります。

(1) $y = (x+3)^2$

これは $y = (x - (-3))^2 + 0$ と変形できるので、頂点は $(-3, 0)$、軸は $x = -3$ です。$a = 1 > 0$ なので下に凸です。

(2) $y = 2(x-1)^2$

これは $y = 2(x-1)^2 + 0$ と変形できるので、頂点は $(1, 0)$、軸は $x = 1$ です。$a = 2 > 0$ なので下に凸です。

(3) $y = -(x-2)^2$

これは $y = -(x-2)^2 + 0$ と変形できるので、頂点は $(2, 0)$、軸は $x = 2$ です。$a = -1 < 0$ なので上に凸です。

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+4)^2$

これは $y = -\frac{1}{2}(x - (-4))^2 + 0$ と変形できるので、頂点は $(-4, 0)$、軸は $x = -4$ です。$a = -\frac{1}{2} < 0$ なので上に凸です。

3. 最終的な答え

(1)

頂点: $(-3, 0)$

軸: $x = -3$

(2)

頂点: $(1, 0)$

軸: $x = 1$

(3)

頂点: $(2, 0)$

軸: $x = 2$

(4)

頂点: $(-4, 0)$

軸: $x = -4$