2次関数 $y = -x^2 + 4x + a^2 + a$ について、$1 \le x \le 4$ の範囲で $y$ の値が常に正であるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + a^2 + a$ について、$1 \le x \le 4$ の範囲で $y$ の値が常に正であるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + a^2 + a$

$y = -(x^2 - 4x) + a^2 + a$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + a^2 + a$

$y = -(x - 2)^2 + 4 + a^2 + a$

したがって、この2次関数の頂点は $(2, a^2 + a + 4)$ であり、上に凸な放物線です。

$1 \le x \le 4$ の範囲で $y > 0$ となる条件を考えます。

この範囲における $y$ の最小値を考える必要があります。

軸 $x = 2$ は $1 \le x \le 4$ の範囲に含まれるので、この範囲における $y$ の最小値は、範囲の両端である $x = 1$ または $x = 4$ でとります。$x=1$と$x=4$は軸から等しい距離にあるので、$y(1)=y(4)$です。

$y(1) = -1^2 + 4(1) + a^2 + a = -1 + 4 + a^2 + a = a^2 + a + 3$

$y(4) = -4^2 + 4(4) + a^2 + a = -16 + 16 + a^2 + a = a^2 + a$

頂点のy座標は $a^2+a+4$ です。

区間 $1 \le x \le 4$ において、$y$ が常に正であるためには、$x=1$ または $x=4$ のときの $y$ の値が正であれば十分です。なぜなら、放物線は上に凸なので、区間の端で正であれば、その区間全体で正になるからです。

したがって、$y(1) = a^2 + a + 3 > 0$ となればよいです。

$a^2 + a + 3 > 0$ を満たす $a$ の範囲を求めます。

判別式 $D = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 < 0$ であり、$a^2$ の係数が正なので、この不等式はすべての実数 $a$ に対して成り立ちます。

次に、$y(4) = a^2+a >0$ を解きます。

$a^2 + a > 0$

$a(a + 1) > 0$

したがって、$a < -1$ または $a > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a < -1$ または $a > 0$