$0 \leq x \leq 8$ の範囲のすべての $x$ の値に対して、不等式 $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq 8$ の範囲のすべての $x$ の値に対して、不等式 $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を平方完成します。

$x^2 - 2mx + m + 6 > 0$

$(x - m)^2 - m^2 + m + 6 > 0$

$f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ とおくと、$f(x) = (x-m)^2 - m^2 + m + 6$ となります。

軸は $x = m$ です。

$0 \leq x \leq 8$ の範囲で、$f(x) > 0$ が常に成り立つ条件を考えます。

(i) $m < 0$ のとき

$0 \leq x \leq 8$ の範囲で $f(x)$ は単調減少なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$f(0) = m + 6 > 0$

$m > -6$

よって、$-6 < m < 0$

(ii) $0 \leq m \leq 8$ のとき

$0 \leq x \leq 8$ の範囲で、$f(x)$ の最小値は $x = m$ のときにとります。

$f(m) = -m^2 + m + 6 > 0$

$m^2 - m - 6 < 0$

$(m - 3)(m + 2) < 0$

$-2 < m < 3$

$0 \leq m \leq 8$ と合わせて、$0 \leq m < 3$

(iii) $m > 8$ のとき

$0 \leq x \leq 8$ の範囲で $f(x)$ は単調増加なので、$x = 8$ で最小値をとります。

$f(8) = 64 - 16m + m + 6 > 0$

$70 - 15m > 0$

$15m < 70$

$m < \frac{70}{15} = \frac{14}{3} = 4.666...$

これは、$m > 8$ に矛盾します。

(i), (ii), (iii) より、$-6 < m < 0$ または $0 \leq m < 3$なので、$-6 < m < 3$

3. 最終的な答え

$-6 < m < 3$